Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

Klasyczne filtry Butterwortha i Czebyszewa są to bądź bierne obwody LC bądź układy aktywne z ujemnym sprzężeniem zwrotnym zbudowane na wzmacniaczach operacyjnych. Cyfrowym odpowiednikiem takich filtrów są filtry również z ujemnym sprzężeniem zwrotnym, zwane filtrami rekurencyjnymi, bądź też filtrami z nieskończoną odpowiedzią impulsową (ang. IIR - Infinite Impulse Response).

Najczęstszym sposobem formułowania problemu zaprojektowania filtru jest podanie jego częstotliwości granicznej, przy której wzmocnienie spada o 3 dB (71% w skali liniowej), oraz rzędu filtru. Jest to jednak sformułowanie nieprecyzyjne, bo nic nie mówi o tłumieniu w paśmie zaporowym i zakłada z góry rząd filtru. Znacznie bardziej precyzyjnym i lepiej dostosowanym do potrzeb praktycznych jest określenie charakterystyki filtru przez podanie dwóch punktów: końca pasma przepustowego (punkt P) i początku pasma zaporowego (punkt R). Punkty te znajdują się na charakterystyce amplitudowej filtru (wzmocnienie w funkcji częstotliwości) i wyznaczają pole, w którym mieścić się musi charakterystyka projektowanego filtru. Na rysunku obok obie charakterystyki, zielona i niebieska spełniają założone wymagania, ponieważ nie przebiegają przez zakreskowane obszary zabronione wyznaczone punktami P i R. Warto zauważyć, że o ile charakterystyka zawsze przechodzi przez punkt P, o tyle nie musi przechodzić przez punkt R, może przechodzić pod nim, wtedy możemy powiedzieć, że filtr z zapasem spełnia wymagania projektowe. Z położenia punktów P i R wynika rząd filtru. Oczywiście im bardziej stromo musi opadać charakterystyka amplitudowa między punktami P i R, tym rząd filtru będzie większy.

Tak więc danymi początkowymi do obliczenia filtru są:

• Częstotliwość końca pasma przepustowego (f_P),
• Największe dopuszczalne tłumienie w paśmie przepustowym (A_P), dla filtru Czebyszewa ten parametr określa jednocześnie dopuszczalne zafalowanie charakterystyki amplitudowej w paśmie przepustowym,
• Częstotliwość początku pasma zaporowego (f_R),
• Wymagane minimalne tłumienie w paśmie zaporowym (A_R).

W celu praktycznego pokazania omawianego sposobu projektowania filtrów, podając wzory i teorię, będę jednocześnie projektował konkretny filtr dolnoprzepustowy o następujących parametrach:

A_P = 0,5 dB, f_P = 3 kHz, A_R = 20 dB, f_R = 7 kHz.

Obliczenie rzędu filtru

Pierwszym krokiem jest obliczenie dwóch współczynników określających nasz filtr. Są to współczynnik selektywności k, oraz współczynnik dyskryminacji d. Współczynnik selektywności określa jak blisko siebie położone są częstotliwości punktów P i R, gdy punkty te zbliżają się w poziomie do siebie, to współczynnik dąży do 1. Współczynnik ten określony jest wzorem:

  (1)

Współczynnik dyskryminacji natomiast określa wzajemną relację między maksymalnym tłumieniem w paśmie przepustowym i minimalnym tłumieniem w paśmie zaporowym. Obliczamy go ze wzoru:

  (2)

Dla podanych przykładowych wartości liczbowych po podstawieniu ich do wzoru otrzymamy: k = 0,42857 i d = 0,035107. Rząd filtru Butterwortha obliczamy ze współczynników k i d z następującego wzoru:

  (3)

Rząd filtru Czebyszewa natomiast określa się z podobnego, ale jednak nieco innego wzoru:

  (4)

Po podstawieniu danych przykładowych otrzymamy dla filtru Butterwortha rząd 3,952968, dla filtru Czebyszewa rząd 2,711062. W rzeczywistości rząd filtru nie może być ułamkowy, musi być liczbą naturalną. Otrzymane liczby należy więc zaokrąglić w górę. Zaokrąglenie w dół spowodowałoby, że charakterystyka filtru przechodziłaby ponad punktem R, a więc filtr nie spełniałby założeń. Dlatego dla przykładowego filtru Butterwortha przyjmujemy rząd 4, dla filtru Czebyszewa rząd 3. Rząd filtru Czebyszewa dla tych samych danych będzie zawsze mniejszy lub równy rzędowi filtru Butterwortha.