Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

Częstotliwość graniczna filtru

Częstotliwość graniczna inaczej definiowana jest dla filtru Butterwortha i filtru Czebyszewa. W dolnoprzepustowym filtrze Czebyszewa jest to najwyższa częstotliwość, dla której tłumienie filtru nie przekracza założonych zafalowań charakterystyki. Jest to więc dokładnie częstotliwość punktu P na wykresie. Dla filtru Butterwortha natomiast częstotliwość graniczna, to taka, przy której następuje spadek wzmocnienia o 3 dB względem sygnału stałego (o częstotliwości 0). Częstotliwość ta jest większa od f_P jeżeli A_P jest mniejsze niż 3 dB. Jeżeli tłumienie w punkcie Pwynosi 3 dB, to oczywiście częstotliwość graniczna jest częstotliwością punktu P. Częstotliwość graniczną filtru Butterwortha można określić ze wzoru:

   (5)

Dla filtru przykładowego w wersji Czebyszewa częstotliwość graniczna jest równa f_P a więc wynosi 3000 Hz. Dla filtru Butterwortha otrzymamy po podstawieniu do wzoru (5) częstotliwość graniczną równą 3902,27 Hz.

Filtr prototypowy

Po określeniu rzędu i częstotliwości granicznej obliczamy filtr prototypowy, to znaczy taki filtr analogowy którego częstotliwość graniczna wynosi 1 Hz. Transmitancja tego filtru to funkcja operatora różniczkowania s o postaci:

   (6)

Mianowniki transmitancji filtrów prototypowych zostały stablicowane. Postać mianownika dla filtru Butterwortha zależy wyłącznie od rzędu filtru, dla filtru Czebyszewa dodatkowym parametrem jest założone zafalowanie charakterystyki amplitudowej (równe tłumieniu A_P). Dla filtru przykładowego odczytujemy z tablic:

filtr Butterwortha

(s² + 0,765366864s + 1)·(s² + 1,847759065s + 1)

filtr Czebyszewa

(s² + 0,62646s + 1,14245)·(s + 0,62646)

Jak widać mianownik transmitancji filtru M(s) jest wielomianem zmiennej s. Miejsca zerowe tego mianownika są zwanebiegunami filtru. Bieguny filtru są liczbami zespolonymi o ujemnej części rzeczywistej (gdyby któryś biegun miał dodatnią część rzeczywistą, to filtr byłby niestabilny). Filtr ma tyle biegunów ile wynosi jego rząd. Filtry o rzędzie parzystym mają bieguny zespolone sprzężone parami. W filtrze o rzędzie nieparzystym jeden biegun jest ujemny rzeczywisty, reszta jest zespolona, sprzężona parami. Bieguny można bardzo prosto obliczyć wyliczając pierwiastki trójmianów w nawiasach. Dla przykładowego filtru Butterwortha otrzymamy dwie pary biegunów zespolonych sprzężonych:

s₁₂ = −0,382683±j0.923880
s₃₄ = −0,923880±j0.382683

Dla filtru Czebyszewa otrzymamy jeden biegun rzeczywisty i parę biegunów zespolonych sprzężonych:

s₁ = −0,62646
s₂₃ = −0,31323±j1,021928

Skalowanie częstotliwości i przekształcenie nieliniowe

Jak napisałem wcześniej, filtr prototypowy obliczony jest dla częstotliwości granicznej 1 Hz. Należy teraz przeskalować jego bieguny, tak aby odpowiadały założonej częstotliwości granicznej. Oprócz tego należy dokonać przekształcenia nieliniowego. Polega ono na potraktowaniu przeskalowanej częstotliwości funkcją tangens rozciągniętą w taki sposób, że wartość π na osi x przesuwa się do częstotliwości próbkowania sygnału. Przekształcenie nieliniowe jest elementem transformacji z dziedziny analogowego operatora s (różniczkowanie) do dziedziny cyfrowego operatora z (opóźnienie o 1 takt zegara). Przy projektowaniu filtrów cyfrowych łączy się operację skalowania i przekształcenia nieliniowego w jedną, obliczając współczynnik skalujący W z następującego wzoru:

   (7)

Dla filtru Butterwortha i Czebyszewa współczynnik W liczymy oddzielnie, ponieważ z reguły filtry te mają inne częstotliwości graniczne (chyba, że A_P wynosi 3 dB, wtedy obie częstotliwości będą równe). Dla naszego przykładowego filtru Butterwortha f_g wynosi 3902,27 Hz, a współczynnik W = 0,570758. Dla filtru Czebyszewa f_g = 3000 Hz, W = 0,43405608.

Po obliczeniu współczynnika W transformujemy bieguny filtru prototypowego. Jest to bardzo prosta operacja, dla filtrudolnoprzepustowego po prostu mnożymy W przez biegun. Dla filtru górnoprzepustowego dzielimy W przez biegun. Po przemnożeniu (dla filtru dolnoprzepustowego) otrzymamy następujące bieguny:

Filtr Czebyszewa:

s₁₂ = −0,135959±j0,443573
s₃ = −0,271917