W MiNI Akademii Matematyki PW o całce i maszynie do całkowania szczęścia

źródło: MiNI Akademia Matematyki

Ponad 100 uczniów warszawskich gimnazjów i liceów wzięło udział 8 maja w zajęciach MiNI Akademii Matematyki Politechniki Warszawskiej. O całce i jej zastosowaniach mówił prof. Tadeusz Rzeżuchowski z PW. Wykładowca zapowiedział też rychłe ogłoszenie konkursu na pomysł i wykonanie maszyny do całkowania szczęścia.

Całka - jak powiedział profesor - jest dla niektórych symbolem trudnej matematyki, takiej tylko dla wtajemniczonych. Tymczasem jest ona bardzo naturalnym pojęciem, którego istota jest nie tylko łatwa do zrozumienia, ale nasuwa też mnóstwo możliwości zastosowań w pozornie odległych dziedzinach. Nawet takiej, jak liczbowe określenie szczęścia, rozumianego jako zadowolenia z życia w całości.

Szczęście jest pojęciem niejasnym i wieloznacznym - zauważył prelegent. Można je uważać za zestaw korzystnych zbiegów okoliczności, kojarzyć z brakiem smutków, posiadaniem cennych dóbr, czy z zadowoleniem z życia. Zajmowali się nim od dawna filozofowie, a Władysław Tatarkiewicz poświęcił mu nawet osobną książkę - pokazuje w niej m.in., że szczęścia nie można mierzyć a jedynie doświadczać, choć używa też pojęcia "bilans życia" nie podając, jak go określić.

Nie inaczej jest z całką - przekonywał profesor. To słowo wszyscy słyszeli i wielu wie, że to jeden z symboli matematycznych. Całka budzi największe obawy studentów, a niektórzy - filozofowie także - nadają jej znaczenie magiczne. Na Politechnice poświęca się jej i pojęciom pokrewnym 240 godzin wykładów i ćwiczeń.

Rozważając ruch jednostajny po prostej można narysować wykres przebytej drogi w zależności od czasu - mówił prof. Rzeżuchowski. Droga to iloczyn tych wartości opisana polem prostokąta. Do opisu szczęścia można się posłużyć analogicznym wykresem.

Pole prostokąta to wówczas iloczyn nastroju i czasu (warunek: nastrój jest niezmienny). Gdy rozpiszemy upływ czasu (na przykład na poszczególne dni tygodnia) można narysować na układzie współrzędnych funkcję nastroju względem czasu. Funkcji tej odpowiadać będzie linia krzywa. Aby obliczyć szczęście należałoby zsumować pola figur pod krzywą. Figury te nie są niestety prostokątami, bo jeden z ich boków jest częścią krzywej. Gdy jednak zacznie się szatkować figury na prostokąty, i to możliwie na jak najmniejsze - to suma ich pól będzie dawała coraz lepsze przybliżenie końcowego pola zwanego szczęściem. W ten oto sposób powstaje całka.

Zdaniem wykładowcy, intuicyjnie proste pojęcie całki nie jest do końca jasne wówczas, gdy zechcemy sobie uzmysłowić, co to znaczy "możliwie najmniejsze prostokąty". Przecież za najlepsze przybliżenie odpowiadał by prostokąt nieskończenie mały, a taki twór już trudno sobie wyobrazić.

Jak przypomniał prof. Rzeżuchowski, kłopoty ze zrozumieniem nie mającego końca "drobienia" pól czy odcinków mieli już starożytni, a Zenon z Elei dał temu wyraz w swoich paradoksach o lecącej strzale czy zającu goniącym żółwia. Zmagali się z tymi trudnościami matematycy prawie do końca XIX wieku, a i od czasu wprowadzenia "nieskończenie małych" do matematyki przez Newtona i Leibnitza uczeni długo mieli z ich zrozumieniem kłopot. Obecnie na nieskończenie małych opiera się cały dział matematyki zwany analizą niestandardową.

Po zdefiniowaniu całki nasuwają się nowe pytania - opowiadał naukowiec - czy wszystkie funkcje mają całkę, a jeśli tak to jakie (okazało się, że nie ma jej na przykład funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 1 dla liczb niewymiernych oraz zero dla wymiernych), oraz jeśli całka jakiejś funkcji istnieje, to jak ją obliczyć? Istotne okazały się też powiązania całki z takim pojęciami jak granica (np. ciągu, funkcji lub ciągu funkcji), ciągłość czy pochodna (styczna funkcji w punkcie).

Pozostawiając szczegółowe rozważanie tych kwestii przyszłym studentom Politechniki prof. Rzeżuchowski zapowiedział zorganizowanie niebawem przez MINI Akademię konkursu na koncepcję zbudowania maszyny do całkowania nastrojów (algorytmy, elektroniczny, chemiczny czy inny sposób pomiaru nastroju, suma nastrojów całką szczęścia).

Zasady konkursu zostaną opublikowane na stronie: akademia.mini.pw.edu.pl oraz podane do wiadomości 29 maja podczas ostatniego przed wakacjami spotkania Akademii, poświęconego tajemnicom liczb pierwszych. Ogłoszenie wyników nastąpi na początku nowego roku szkolnego, a autor najlepszego rozwiązania będzie być może miał szansę zastosowania go w praktyce.

PAP - Nauka w Polsce, Waldemar Pławski