Wojna stałych, czyli niecodzienny wykład z matematyki na PW

Wykładowcy poprzebierani w różnobarwne koszulki z nadrukami symbolizującymi trzy różne stałe matematyczne wprawili w zachwyt młodą publiczność, gdy toczyli słowny bój o to, która ze stałych ma większe zasługi dla rozwoju matematyki i jej zastosowań. W taki m.in. sposób świętowano 14 marca na Politechnice Warszawskiej Dzień Liczby Pi.

70 zgromadzonych na sali uczniów warszawskich uczniów szkół średnich reagowało na te popisy brawami i śmiechem. Gdy prezentacja dobiegła końca owacjom nie było końca. Publiczność domagała się nawet bisów.

Liczba Pi (w tej roli wystąpił odziany w pomarańczową koszulkę i siedzący po turecku na katedrze Tomasz Brengos) chwaliła się, nie bez racji, że jest najstarszą stałą matematyczną. Liczb,a wyrażająca stały stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy, znana była już starożytnym Babilończykom w 1300 roku przed naszą erą. Nie znano tylko jej dokładnej wielkości, szacowano więc różnie - najczęściej na około 3,14.
W późniejszych wiekach starano się znaleźć wzór, pozwalający na wyznaczenie jej z coraz większą dokładnością (dla lepszego zapamiętania kolejnych rozwinięć układano "poezje", w których każdej kolejnej cyfrze odpowiadała liczba liter w kolejnym wyrazie, jak w przykładzie "Jaś o kole z werwą dyskutuje", gdzie Pi = 3,14159). Dopiero w XVIII wieku udowodniono, że wszystkie te wysiłki są na nic, gdyż Pi jest liczbą niewymierną, co pośrednio wskazało również na niemożność kwadratury koła, tj. skonstruowania przy pomocy linijki i cyrkla kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła.

Dowiedziono także m.in., że Pi jest liczbą przestępną, czyli nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu, oraz, że np. biorąc 6 miliardów cyfr z jej rozwinięcia dziesiętnego (to własność wykazana już w erze komputerów), nie napotkamy żadnej regularności w rozkładzie cyfr i że cyfry od 0 do 9 występują tam najzupełniej statystycznie.

Wywody te przerywała raz po raz liczba Fi - głosu udzielał jej ubrany w zielona koszulkę Krzysztof Bryś, prodziekan do spraw studenckich Wydziału MiNI PW - dowodząc, że jest równie zasłużona i równie piękna.

Liczba Fi to inaczej liczba Fidiasza, rzeźbiarza greckiego (490-420 p.n.e.) wyrażająca tzw. "złoty podział" odcinka. Odcinek podzielony jest w ten sposób, że długość pochodzącego z tego podziału odcinka dłuższego ma się tak do długości krótszego, jak cała długość do długości krótszego. Złoty podział stosowali w swoich konstrukcjach budowniczowie i rzeźbiarze. Widać to zarówno w ateńskim Partenonie, jak i w Bramie Brandenburskiej, a także proporcjach antycznych postaci ludzkich.

Współcześni Fidiaszowi matematycy znali także całe, pełne boskich, złotych proporcji figury. Należał do nich między innymi pentagram. Z czasem udowodniono, że reprezentująca złoty podział liczba Fi - równa w przybliżeniu 1,618 - jest, podobnie jak Pi, liczbą niewymierną (ale nie przestępną) i że można ją wyrazić przez połowę pierwiastka z pięciu plus 1, co w przybliżeniu daje 1,618033..., a także, że jej odwrotność jest o jedność mniejsza od niej samej. No i że najbardziej znany prostokąt, jakim jest kartka papieru A4, ma boki o proporcjach zbliżonych do złotego.

Liczba Fi łączy się niespodziewanie jeszcze z innym znanym w matematyce odkryciem - ciągiem, zaproponowanym w 1202 roku przez Leonarda Fibonacciego. Ten włoski uczony wydedukował go rozważając hipotetyczną hodowlę wirtualnych królików. Gdy założymy, że na początku jest para królików, która po dwóch miesiącach rodzi dwoje młodych, a te z kolei wydają na świat kolejne pokolenia par to zachodzi pytanie ile będzie par królików po zadanej liczbie miesięcy (ciąg rozwija się tak: 1, 1, 2, 3, 5, 8...).

Ta czysto arytmetyczna zagadka - jak wykazały późniejsze obserwacje - ma swoją reprezentację w świecie rzeczywistym, w którym to - jak się okazuje - w takim samym porządku m.in. rosną liście na drzewach i układają się słoje muszli małż i ślimaków. Interesujące stało się pytanie, czy istnieje wzór opisujący to zjawisko. Podejmowano wiele prób, ale bezskutecznych. Udało się to dopiero w 1810 roku matematykowi francuskiemu Jakubowi Binetowi, ale 100 lat wcześniej matematyk i astronom Jan Kepler niejako po drodze odkrył, że przekształcony nieco ciąg Fibonacciego ma granicę w postaci ... liczby Fi.

Ze swadą reagowały na te fakty reagowała obecna na wykładzie inna jeszcze stała matematyczna - liczba e, zwana też od swego odkrywcy liczbą Eulera, będąca podstawą logarytmów naturalnych (Paweł Naroski, asystent na Wydziale MiNI, koszulka czerwona z napisem e = 2,718...).

E jest liczbą przestępną, a na dodatek występuje w najpiękniejszym jak sądzą niektórzy wzorze matematycznym wszechczasów, w którym e podniesiona do potęgi "i" razy Pi (i jest liczbą urojoną, która ma tę własność, że pomnożona przez siebie daje minus 1) - daje w wyniku minus jeden.

Tym przekomarzaniom nie byłoby chyba końca, gdyby nie zdecydowane wejście na widownię zwyczajnej liczby 19 (Urszula Rzechuła studentka III roku Wydziału MiNI w niebieskiej koszulce z napisem 19), która prezentując się niczym modelka na wybiegu stwierdziła z wielką pewnością siebie: "Tak naprawdę najpiękniejsze na świecie jest to, co naturalne", za co zebrała wiele braw od publiczności.

PAP - Nauka w Polsce, Waldemar Pławski