Cel: Zaprojektować dolnoprzepustowy filtr Czebyszewa o zadanych przez parametrach

Zadane parametry filtrów dolnoprzepustowych
A_p = -0.5dB
A_r = -48dB
f_p = 1000Hz
f_r = 5500Hz
f_d = 48000Hz

wzory nieczytelne są lepszej jakości po kliknięciu

Ze względu na zniekształcenie osi częstotliwości prototyp analogowy filtru cyfrowego projektuję według przeliczonej pulsacji granicznej. Posługuję się programem mathcad 13 do obliczenia wartości współczynników transmitancji filtru.

Wyznaczam współczynnik selektywności ‘k’

Wyznaczam współczynnik dyskryminacji ‘d’

Wyznaczam rząd filtru ‘N’

Przyjmuję rząd filtru

N = 3

Częstotliwość graniczna takiego filtru jest równa szerokości pasma przepustowego prototypu filtru analogowego.

Z tablic wielomianów transmitancji filtrów Czebyszewa odczytuję postać mianownika transmitancji filtru typu Czebyszewa z zafalowaniami 0.5dB.

Postać licznika transmitancji wyznaczamy z zależności:

s_i – ity pierwiastek wielomianu mianownika transmitancji odczytanego z tablic
N - rząd filtru

W konkretnym przypadku

N = 3

s₁*s₂ = 1.14245
s₃ = -0.62646

ω unormowana ω _s= ω / ω_gr

Współczynniki transmitancji zostały zaokrąglone, projektując filtr przy pomocy programu mathcad zachowujemy maksymalną dokładność ok. 17 miejsc po przecinku.

Mnożę licznik i mianownik transmitancji przez ω_gr³

Za ω_gr podstawiam wyliczoną wcześniej wartość, transmitancja przyjmuje postać:

Transformacja na filtr cyfrowy

Dyskretyzacja filtru dolnoprzepustowego

Wyciągam z mianownika (2f_d )³ i przenoszę do licznika

Licznik i mianownik mnożę przez (z+1)³

Upraszczam wyrażenia i podstawiam za f_d wyznaczone wcześniej wartości

Dzielę licznik i mianownik transmitancji przez z³

Poniżej podaję dokładne wartości współczynników transmitancji

Współczynnik licznika
              2.0152025103888503112e^-4

Współczynniki mianownika
              1.0889160916140350646
              -3.0749222987448237257
              2.9118899893901204799
              -0.92427162025102072970

Przy pomocy programu Matlab w wersji 6.5 wyznaczam charakterystyki amplitudowe i fazowe zaprojektowanego filtru dolnoprzepustowego typu Czebyszewa. Zamieszczam również komendy zastosowane w programie Matlab

m=[1.0889160916140350646 -3.0749222987448237257 2.9118899893901204799 -0.92427162025102072970];
l=[1 3 3 1];
a=2.0152025103888503112e-4 ;
freqz([l]*a,[m],0:1:1000,48000),figure,freqz([l]*a,[m],999.9:0.01:1000.1,48000),figure,freqz([l]*a,[m],0:1:6000,48000),figure,freqz([l]*a,[m],5499:0.1:5501,48000)

W paśmie przepustowym zafalowania zaprojektowanego filtru są zgodne z założeniami
Przy częstotliwości 1kHz tłumienie filtru wynosi dokładnie 0.5dB

Jak widać z powyższych charakterystyk, przy częstotliwości 1000Hz tłumienie osiąga wartość 0,5 dB – zgodnie z założeniami, natomiast przy 5,5kHz osiągnąłem wartość tłumienia ponad 48 dB. Spowodowane jest t tym, że policzony rząd filtru nie jest liczbą całkowitą, lecz zaokrągloną w górę do niej.

Do wyznaczenia charakterystyk czasowych posługuję się poleceniami programu matlab „dimpulse”- do wyznaczenia odpowiedzi impulsowej i „dstep” do wyznaczenia odpowiedzi skokowej. Poniżej podaję zestaw komend użytych do wyznaczenia prezentowanych charakterystyk

m=[1.0889160916140350646 -3.0749222987448237257 2.9118899893901204799 -0.92427162025102072970];
l=[1 3 3 1];
a=2.0152025103888503112e-4 ;
dimpulse(l*a,m),figure,dstep(l*a,m)

Odpowiedź impulsowa

Odpowiedź skokowa

Z powyższych przebiegów czasowych widać, że filtr jest stabilny – gasnące oscylacje zarówno w przebiegu odpowiedzi impulsowej i skokowej. Podobnie jak dla filtru typu Butterwortha, odpowiedź skokowa filtru Czebyszewa dąży do „1”.