Uniwersalny test baterii akumulatorów kwasowo-ołowiowych

fot. Wamtechnik

Test baterii akumulatorów jest sprawdzeniem maksymalnej pojemności baterii. Może być bezpośredni - przez wyładowanie kontrolne lub pośredni - przez zmierzenie parametrów baterii, które wykazują pewien stopień korelacji z pojemnością baterii. W pełni wiarygodny jest test bezpośredni. Jednak aby go przeprowadzić, bateria musi być w stanie pełnego naładowania, a ponieważ na ogól nie jesteśmy tego pewni, należy przed jego wykonaniem baterię naładować. Test jest więc czasochłonny i kosztowny.

Cała procedura: wstępne naładowanie, wyładowanie kontrolne i ponowne naładowanie baterii trwa ok. 2-3 doby. Test pośredni jest mniej wiarygodny ze względu na dość niski stopień korelacji badanego parametru z pojemnością (30-70%). Jest on mniej czaso­chłonny, lecz ponieważ parametry istotne dla testu (rezystancja lub konduktancja baterii, spadek napięcia w wyładowaniu częściowym) są także zależne od stopnia naładowania baterii, trzeba na ogół prze­prowadzić wstępne ładowanie baterii.

Poszukuje się testu, który byłby wolny od tych wad, tzn. był krótki (do 1h), niezależny od stopnia naładowania baterii i dawał wynik o niepewności nie większej niż 10%. Dodatkową zaletą byłaby jego nieinwazyjność, tzn. bardzo mała ingerencja w system zasilania, stąd małe narażenie pewności zasilania. Propozycja takiego testu jest przedmiotem tego artykułu.

Identyfikacja stanu baterii przez identyfikację jej charaktery styki wyładowania

Wyładowanie baterii stałym prądem przebiega zgodnie z jej cha­rakterystyką wyładowania. Dla nowej baterii, dla każdej wartości prądu istnieje jedna charakterystyka wyładowania. W trakcie starze­nia baterii charakterystyka jej wyładowania dla tej samej wartości prądu, przebiega wg nowej, jedynej krzywej. Na rysunku podano przykładową krzywą wyładowania baterii.

Problem polega na tym, aby zidentyfikować krzywą niezależnie od aktualnego stanu naładowania baterii. Warunek ten ma kluczowe zna­czenie, ponieważ w różnych sytuacjach eksploatacyjnych nie wiemy a priori, w jakim stanie naładowania jest bateria, a chcemy uniknąć jej wstępnego ładowania. Jest to zgodne z ideą testu skróconego - znacz­nego skrócenia czasu potrzebnego do jego przeprowadzenia.

Podstawy teoretyczne nowego testu

Jak widać, krzywe na rysunku przypominają odwrócone parabo­le. Rozważamy krzywe Q_t i Q_v leżące dostatecznie blisko siebie. W otoczeniu punktu x, na krzywych możemy dokonać rozwinięcia lokalnie w szereg Taylora

f(x) = f(x₁)+∑{f⁽ⁿ⁾(a)(x – x₁)ⁿ}/n!, ograniczając się do n = 2 mamy

f(x) = f(x₁) +f'(x₁)(x – x₁) + 0,5f"(x₁)(x – x₁)²   (1)

Postuluję, że do identyfikacji omawianej krzywej wystarczy dla dowolnego argumentu - x para liczb, z których pierwsza jest równa wartości funkcji w danym punkcie, a druga - wartości pochodnej [f(x), f'(x)].

Krzywe wyładowania ogniwa baterii w różnym wieku, bateria stara - kolor czerwony, nowa - czarny
 

Warunek ten prowadzi do tego, aby poniższy układ równań nie miał rozwiązania:

A₁ (x – x₁)² + B₁ (x – x₁) + C₁ = A₂ (x – x₁)² + B₂ (x – x₁) + C₂     (2)

 

2A₁ (x – x₁) + B₁ = 2A₂ (x – x₁) + B₂       (3)

Po lewej stronie równania (2) zapisano postać krzywej Q₁, a po prawej stronie – Q₂ natomiast w równaniu (3) pierwsze pochodne odpowiednich stron z równania (2).

Z równania (3) otrzymujemy:

B₁ = 2(A₂ – A₁) (x – x₁) + B₂

 

Po podstawieniu do równania (2) otrzymujemy:

(A₁ – A₂) (x – x₁)² – 2(A₂ – A₁) (x – x₁)² + C₁ – C₂ = 0

stąd   3(A₁ – A₂) (x – x₁)² + C₁ – C₂ = 0    (4)

Bierzemy przy tym pod uwagę oczywisty fakt, że powyższe rów­nanie nie ma rozwiązania dla x – wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma rozwiązania dla (x – x₁), tzn. Δ = b² – 4ac = -4ac → nie ma pierwiast­ków, jeśli Δ<0 → to ac>0 → a>0 i c>0 lub a<0 i c<0. W tym przypadku a = 3(A₁ – A₂), c = C₁ – C₂.

 

Ponieważ krzywa Q₁ leży nad krzywą Q₂ więc C₁ > C₂ (odwróco­na parabola), zatem c = C₁ – C₂ > 0 i a = 3(A₁ – A₂) > 0 stąd A₁ > A₂ czyli z równania (1) dla dowolnego punktu x₁:

f₁"(x₁) > f₂"(x₁)    (5)

Oznacza to, że przyrost prędkości opadania krzywej Q₁ jest więk­szy niż krzywej Q₂ W przypadku krzywych wyładowania jest to spełnione - im bardziej wewnętrzna krzywa w zbiorze zaprezen­towanym na rysunku, tym szybsze opadanie krzywej. Przedsta­wiona relacja jest przechodnia, tzn. jeśli: f₁"(x₁) > f₂"(x₁) oraz f₂"(x₁) > f₃"(x₁) to f₁"(x₁) > f₃"(x₁). Oznacza to, że do identyfikacji krzywych ze zbioru krzywych wyładowania wystarczą dwie warto­ści – para liczb (f(x),f'(x)).

Konstrukcja nowego testu 

Działanie systemów nadzoru baterii polega na wykonywaniu serii pomiarów dyskretnych z określonym, najczęściej stałym interwa­łem czasowym. Nawet gdy mówimy, że system dokonuje pomiarów ciągłych, to w rzeczywistości wykonuje on pomiary dyskretne z odpowiednio krótkim interwałem czasowym.

Podczas wyładowania baterii stałym prądem I_i mamy więc serię pomiarów napięcia: u_i1, u_i2 ...u_in wykonywanych ze stałym interwa­łem czasowym Δt. Para {f_i(x_k),f'_i(x_k)} ≈ {u_ik, (u_ik+1 – u_ik)/Δt} wyróż­nia nam jedną i jedyną krzywą wyładowania.

Pochodna funkcji f_i(x_k) jest reprezentowana przez iloraz różnicowy (u_ik+1 – u_ik)/Δt, ponieważ jednak Δt = const, iloraz różnico­wy możemy zastąpić różnicą (u_ik+1 – u_ik), więc ostatecznie para {u_ik, (u_ik+1 – u_ik)} reprezentuje jedyną krzywą wyładowania dla prądu stałego I_i, która odpowiada pojemności baterii maksymalnej, jaką może osiągnąć badana bateria, tzn. w stanie pełnego naładowania.

Można stablicować macierz dla danej wartości prądu I_i dla róż­nych maksymalnych pojemności baterii Q_k otrzymujemy różne krzywe wyładowania reprezentowane przez kolumny macierzy 1, natomiast w kolumnach macierzy 2 mamy wartości różnic, odpo­wiedników ilorazów różnicowych:

Wykonujemy pomiar U₁. Na ogół pomiar bieżący dla prądu I_m będzie wypadał między punktami u_ik i u_ik+1, bo pomiar jest z cią­głego zbioru wartości, więc prawdopodobieństwo trafienia pomiaru w dyskretne wartości u_ik lub u_k+1 jest równe zero. Po czasie Δt wykonujemy następny pomiar U₂ i obliczamy różnicę między zmierzony­mi wartościami tych pomiarów ΔU = U₁ - U₂. 

Następnie obliczamy (robi to automatycznie program kompute­rowy) dla danego i oraz wszystkich k: S_i = (U₁ - u_ik)² + (ΔU - Δ_ik)², następnie obliczamy wartości wyrażenia S_i dla i+ 1, i + 2... aż do i = n.

Zaczynamy od i = 1. Znajdujemy najmniejszą wartość S_i , jednocześnie mamy wartość i dla którego S_i = min, a więc także Q_i czyli maksymalną pojemność baterii. Przy skończonej liczbie elementów (n²) powyższe obliczenia wykonywane komputerowo, wg prostego algorytmu nie stanowią żadnego problemu. Macierze 1 i 2 są specy­ficzne dla danego typu baterii i jako takie mogłyby być podawane przez producenta baterii.

Sprawą otwartą jest optymalizacja testu. Wybór optymalnej gęstości rozpatrywanych krzywych Q_i: ΔQ = Q_i+1 - Q_i oraz interwału czasowego Δt = t_i+1 - t_i.

Należy uwzględnić też wpływ temperatury otoczenia na wartości elementów macierzy 1 i 2.

LITERATURA:

[1] Binkiewicz A.: Opracowanie efektywnej metody oceny stanu baterii kwasowo-oło­wiowych w skróconym czasie. Instytut Łączności 2009

[2] Bemdt D.: Maintenance - Free Batteries. John Wiley&Sons inc., Nowy Jork 1997

[3] Binkiewicz A.: Wpływ podwyższonego napięcia pracy buforowej na żywotność baterii kwasowo-ołowiowej. Wiadomości Elektrotechniczne 2009 nr 12

[4] Binkiewicz A.: Wpływ wyładowań baterii stacyjnych na ich starzenie. Wiadomości Elektrotechniczne 2009 nr 8

[5] Linden D., Redy T.B.: Handbook of Batteries. Wyd. Ili McGraw-Hill, Nowy Jork 2001