Wyznaczanie punktów pracy przyrządów półprzewodnikowych z wykorzystaniem techniki obliczeń ewolucyjnych

Do podstawowych przyrządów półprzewodnikowych zaliczamy diody prostownicze wykorzystujące złącza n-p, tranzystory bipolarne typu n-p-n lub p-n-p oraz zrealizowane w różnych technologiach tranzystory polowe. Wszystkie wymienione elementy elektroniczne mają jedną cechę wspólną, mianowicie ich charakterystyki prądowo-napięciowe są funkcjami silnie nieliniowymi. Elementy te są zarazem podstawowymi komponentami składowymi wszelkich obwodów i układów elektronicznych. W celu zaprojektowania i wykonania tego typu układów elektronicznych konieczne jest przeprowadzenie stosownych obliczeń i analiz.

Celem analizy stałoprądowej układów elektronicznych jest wyznaczenie punktów pracy wchodzących w ich skład elementów półprzewodnikowych, czyli ustalenie wartości prądów przepływających przez poszczególne wyprowadzenia rozważanych przyrządów półprzewodnikowych oraz wyznaczenie wartości panujących pomiędzy tymi wyprowadzeniami napięć. Ze względu na silną nieliniowość charakterystyk prądowo-napięciowych elementów półprzewodnikowych zagadnienia wyznaczania punktów pracy przyrządów półprzewodnikowych nie można rozwiązać w sposób dokładny za pomocą metod analitycznych, ponieważ w ogólnym przypadku nie są znane metody pozwalające na analityczne rozwiązanie nieliniowych układów równań algebraicznych z członami wykładniczymi.

W przeprowadzonych obliczeniach najczęściej wprowadza się różnego rodzaju uproszczenia, polegające zwykle na pominięciu mniej istotnych składników nieliniowych równań oraz na zastąpieniu rzeczywistych charakterystyk przyrządów półprzewodnikowych ich liniowymi aproksymacjami. Niestety, taki sposób postępowania w wielu wypadkach może prowadzić do powstania sporych błędów, co stawia sens przeprowadzanej w ten sposób analizy pod dużym znakiem zapytania.

W artykule została zaproponowana metoda pozwalająca na przeprowadzenie analizy stałoprądowej układów elektronicznych z dowolnie zadaną dokładnością. Rozważana metoda bazuje na technice obliczeniowej opartej na algorytmach ewolucyjnych i pozwala na znalezienie dokładnego rozwiązania metodą sukcesywnej aproksymacji, opartą na stosowaniu genetycznych operacji mutacji i selekcji. Sposób implementacji techniki obliczeń ewolucyjnych został zaprezentowany na przykładzie analizy wybranego układu elektronicznego składającego się z dwóch tranzystorów bipolarnych typu n-p-n.

Opis układu eksperymentalnego

Rys. 1. Schemat połączeń analizowanego obwodu elektronicznego

Na rysunku 1 zamieszczono schemat układu elektronicznego zawierającego dwa tranzystory bipolarne i zasilanego jednym źródłem napięcia stałego E. Głównym celem analizy stałoprądowej przedstawionego układu jest wyznaczenie wartości prądów bazy obu tranzystorów: T₁ i T₂. Znając wartości prądów i_B1 oraz i_B2, łatwo można policzyć wartości innych prądów płynących przez pozostałe wyprowadzania tranzystorów T₁ i T₂. Są to odpowiednio prądy kolektorów (i_C1 oraz i_C2) i emiterów (i_E1 oraz i_E2) wymienionych tranzystorów.

Przedstawiony na rysunku 1 obwód elektroniczny można opisać układem równań wynikających z drugiego prawa Kirchhoffa:

Ponadto w przypadku równań (1) należy uwzględnić wykładniczą zależność prądu bazy tranzystora bipolarnego od wartości napięcia złącza baza-emiter, która w rozważanym przypadku dana jest  następującymi wzorami:

gdzie:
i_S – wartość prądu nasycenia złącza baza-emiter, którego wartość przyjęto na potrzeby obliczeń jako równą 10-14 A,
U_T – potencjał elektrotermiczny, którego wartość w temperaturze pokojowej wynosi 0,026 V. 

Po odpowiednim przekształceniu równań (2) i (3) otrzymuje się wyrażenia pozwalające wyznaczyć wartości napięć baza-emiter tranzystorów T₁ i T₂:

Ostatecznie otrzymuje się następującą postać układu równań opisujących zachowanie się obwodu elektronicznego przedstawionego na rysunku 1:

Przy wyprowadzaniu układu równań (6) uwzględniono następujące zależności pomiędzy wartościami prądów bazy i emitera tranzystorów T₁ i T₂:

Układ równań (6) jest układem równań nieliniowych, w przypadku którego nie są znane metody analityczne pozwalające na jego rozwiązanie. Co więcej, rozwiązanie układu równań (6) prawdopodobnie
w ogóle nie istnieje w postaci analitycznej [4, 5, 8, 10].

Dotychczas stosowane metody, pozwalające na znalezienie rozwiązania tego typu układów równań, polegały na zastosowaniu odpowiednich metod numerycznych. Jednak stosowanie metod numerycznych ma swoje ograniczenia, których należy upatrywać przede wszystkim we właściwym uwarunkowaniu problemu numerycznego oraz w zagadnieniach związanych ze stabilnością obliczeń numerycznych. Ponadto różne metody numeryczne mają swoją specyfikę i nadają się najlepiej do rozwiązywania danego typu zadań, natomiast trudno jest wskazać metody numeryczne w pełni  uniwersalne, które można byłoby wykorzystać do rozwiązania wszelkiego typu problemów obliczeniowych.

W celu rozwiązania nieliniowego układu równań (6), autor niniejszego artykułu zaproponował wykorzystanie techniki obliczeń ewolucyjnych. Obecnie systemy ewolucyjne stanowią już powszechnie
uznawane, niezwykle skuteczne narzędzie optymalizacyjne, które może być z powodzeniem stosowane do rozwiązywania różnorodnych zagadnień technicznych oraz przeprowadzania symulacji zachowania się różnego typu złożonych systemów naturalnych i sztucznych [1, 3, 7, 11, 13].

Implementacja algorytmu ewolucyjnego

W celu realizacji algorytmu ewolucyjnego zawsze najpierw należy określić sposób kodowania rozwiązań na materiale genetycznym osobników. W celu przeprowadzenia analizy obwodu elektronicznego przedstawionego na rysunku 1 zastosowano kodowanie oparte bezpośrednio na liczbach rzeczywistych [2, 6, 9, 12].

Genotyp każdego z osobników wchodzących w skład populacji składał się z dwóch genów, na których w postaci liczb rzeczywistych zakodowano wartości prądów bazy obu tranzystorów, czyli wartości prądów i_B1 oraz i_B2. Na potrzeby realizacji algorytmu ewolucyjnego przyjęto stały rozmiar populacji, która w  każdym pokoleniu składała się dokładnie ze 100 osobników. Populacja początkowa została utworzona w sposób losowy, poprzez przypisanie poszczególnym genom losowych wartości mieszczących się w przedziale od zera do jednego. Osobniki tworzące populację podlegały genetycznej operacji mutacji, która polegała na tym, że najpierw w sposób losowy wybierany był osobnik, a następnie jego gen przewidziany do przeprowadzenia na nim wymienionej operacji genetycznej.

Realizacja samej mutacji polegała na dodaniu do wartości wylosowanego genu pewnej niewielkiej losowej wartości, mieszczącej się w przedziale od minus 0,000001 do plus 0,000001. W ten sposób
zakodowane na materiale genetycznym osobników wartości prądów bazy były modyfikowane o bardzo niewielkie wartości i jeśli tylko taka zmiana poprawiała wartość funkcji dopasowania osobnika, istniały duże szanse na to, że osobnik ten przekaże swoje geny kolejnym pokoleniom.

Z kolei funkcja dopasowania, służąca do przeprowadzenia oceny jakości rozwiązań reprezentowanych przez materiał genetyczny poszczególnych osobników została skonstruowana na podstawie równania (6), opisującego zachowanie się przedstawionego na rysunku 1 obwodu elektronicznego opartego na drugim prawie Kirchhoffa, które powinno być spełnione dla każdego z oczek tego obwodu.

W związku z powyższym funkcja dopasowania wyraża się następującym wzorem

Jak wynika ze wzoru (9), funkcja dopasowania wykorzystuje dwa składniki, z których każdy powstał w oparciu o drugie prawo Kirchhoffa dla wybranego oczka obwodu. Jeżeli w przypadku danego oczka obwodu drugie prawo Kirchhoffa jest spełnione, wówczas związany z tym składnik funkcji dopasowania przyjmuje wartość równą dokładnie zero. Jakiekolwiek naruszenie drugiego prawa Kirchhoffa powoduje, że odpowiedni składnik funkcji dopasowania jest różny od zera, a ponieważ składniki funkcji dopasowania zostały dodatkowo podniesione do kwadratu, funkcja dopasowania jest funkcją przyjmującą tylko wartości nieujemne.

Funkcja dopasowania przyjmuje wartość równą zero wtedy i tylko wtedy, gdy równania wynikające z drugiego prawa Kirchhoffa są spełnione dla każdego z oczek obwodu. Każde, nawet najdrobniejsze naruszenie drugiego prawa Kirchhoffa dla dowolnego z oczek powoduje, że funkcja dopasowania przyjmuje wartości dodatnie.

Jak wynika z zamieszczonych powyżej rozważań, zadaniem algorytmu ewolucyjnego jest systematyczna minimalizacja wartości funkcji dopasowania, aż do momentu gdy osiągnie ona wartość równą zero. Zapewnia to, że w badanym obwodzie spełnione są prawa Kirchhoffa, a zatem uzyskane za pomocą algorytmu ewolucyjnego wartości prądów stanowią prawidłowe rozwiązanie tego obwodu.

Rezultaty obliczeń ewolucyjnych

Do symulacji komputerowych bazujących na technice obliczeniowej algorytmów ewolucyjnych przyjęto następujące wartości parametrów opisujących właściwości elementów składowych przedstawionego na rysunku 1 obwodu elektronicznego: E = 12 V, R₁ = 12 000 Ω, R₂ = 80 Ω, R₃ = 7000 Ω, R₄ = 20 Ω, R₅ = 60 Ω, β₁ = 130, β₂ = 150.

W wyniku realizacji trzech milionów pokoleń algorytmu ewolucyjnego otrzymano następujące wartości prądów bazy tranzystorów T₁ i T₂: i_B1 = 9,45∙10^-4 A, i_B2 = 4,48∙10^-13 A. Na ich podstawie łatwo już można wyliczyć prądy kolektora i emitera rozważanych tranzystorów, pamiętając o tym, że prąd kolektora tranzystora bipolarnego jest β razy większy od jego prądu bazy, a prąd emitera stanowi sumę
prądów bazy i kolektora.

Po przyjęciu podanych wyżej wartości współczynników wzmocnienia prądowego obu tranzystorów, czyli β₁ i β₂, otrzymuje się:
i_C1 = 0,12285 A, i_C2 = 6,72∙10^-11 A, i_E1 = 0,12379 A, i_E2 = 6,76∙10^-11 A.

Bazując na powyższych wartościach, można wyliczyć wartości napięcia kolektor-emiter dla obu tranzystorów, według następujących wzorów:

Po podstawieniu do wzorów (10) i (11) wartości liczbowych parametrów elementów składowych obwodu, otrzymuje się:

U_CE1 = 2,097 V, U_CE2 = 11,999 V.

Interesująco przedstawia się także wykres pokazujący, w jaki sposób zmieniały się uzyskiwane za pomocą
algorytmu ewolucyjnego wartości prądu bazy tranzystora T₁. Wykres prądu i_B1 został zamieszczony na rysunku 2.

Rys. 2. Wykres przedstawiający zmiany uzyskiwanych wartości prądu i_B1 miarę upływu liczby pokoleń algorytmu ewolucyjnego

Jak wynika z wykresu przedstawionego na rysunku 2, w miarę upływu liczby pokoleń algorytmu ewolucyjnego uzyskiwane wartości prądu i_B1 malały monotonicznie, aż do momentu uzyskania ostatecznej wartości, stanowiącej prawidłowe rozwiązanie analizowanego obwodu. Podobnie w sposób monotoniczny malały z pokolenia na pokolenie wartości funkcji dopasowania (tab).

Malejące monotonicznie w miarę upływu liczby pokoleń algorytmu ewolucyjnego wartości funkcji dopasowania

Jak wynika z wartości zamieszczonych w tabeli, po upływie ponad dwóch milionów pokoleń algorytmu ewolucyjnego następuje gwałtowny spadek wartości funkcji dopasowania, w związku z czym uzyskiwane rozwiązania szybko zbiegają się do pożądanych wartości optymalnych.

Wnioski

Przedstawiony w artykule przykład obliczeniowy stanowi dowód na to, że technika obliczeniowa oparta na algorytmach ewolucyjnych może stanowić skuteczną metodę pozwalającą na przeprowadzenie
stałoprądowej analizy obwodów elektronicznych zawierających elementy półprzewodnikowe o nieliniowych charakterystykach prądowo- napięciowych. Jednocześnie zaprezentowana metoda, ze względu na jej uniwersalność, może stanowić interesującą alternatywę dla powszechnie stosowanych w takich wypadkach klasycznych metod numerycznych.

Dalsze prace prowadzone przez autora w rozważanym obszarze badawczym będą koncentrowały się na opracowaniu graficznego interfejsu użytkownika, za pośrednictwem którego będzie istniała możliwość tworzenia obwodów elektronicznych składających się z dowolnej liczby elementów półprzewodnikowych o w zasadzie dowolnej topologii wzajemnych połączeń. Na podstawie takiej graficznej definicji obwodu w sposób automatyczny tworzony będzie materiał genetyczny początkowej populacji osobników, która po
realizacji odpowiednio dużej liczby pokoleń powinna dostarczyć osobników reprezentujących swoimi genotypami rozwiązania o odpowiednio wysokiej jakości.